Fraktale und Chaos, Vorbemerkung
Mit der rasanten Entwicklung der PC-Technologie ist es heute möglich geworden, auch komplizierte mathematische Berechnungen quasi "zu Hause" durchzuführen und mathematische Zusammenhänge am Bildschirm sichtbar zu machen.
Besonders bestechend sind Computer-Grafiken der fraktalen Geometrie, die als "Julia-Mengen" oder "Apfelmännchen" in weiten Kreisen bekannt wurden und durch ihre einmalig schönen Strukturen auch den Laien ansprechen und begeistern.
Im Internet werden mittlerweile Programme angeboten, die kostenlos heruntergeladen werden können und mit denen man faszinierende Grafiken produzieren kann.
Um den mathematischen Hintergrund besser verstehen zu können, wurde in der vorliegenden Schrift versucht, ausgehend von einfachen Beispielen, die theoretischen Grundlagen mit elementaren Mitteln zu entwickeln. Dabei steht die quadratische Iteration mit ihrer verblüffend einfachen Formel im Vordergrund. Es ist erstaunlich, wie durch Erweiterung dieser einfachen Formel, beginnend mit den reellen Zahlen über die komplexen Zahlen bis zu den Quaternionen, sich immer neue Aspekte ergeben. Dabei ist es nicht die Absicht, alle Eigenschaften streng mathematisch zu beweisen, es soll vielmehr ein Überblick gegeben und die wesentlichen Gedankengänge sollen aufgezeigt werden.
Die formelmäßigen Ableitungen werden durch einfache Computerprogramme ergänzt, die in der weit verbreiteten Programmiersprache "QBasic" geschrieben sind. Diese Programme erheben keinen Anspruch auf optimale Programmierung, sondern sollen Anregungen geben, eigene Rechenexperimente durchzuführen, indem Parameter geändert oder die Rechenalgorithmen nach eigenen Interessen modifiziert und ausgebaut werden können.
Damit soll dieses sehr reizvolle und alles andere als "trockene" Spezialgebiet der Mathematik veranschaulicht und einem interessierten Kreis auf praktische Weise nähergebracht werden.